Квадратичные формы

Теорема о приведении квадратичной формы

Если матрица $\alpha$ диагональна, квадратичная форма (67) приобретает простой вид, $A(x,x)=\sum _{k,m=1}^n \beta_{k}x_k^2, \quad \beta _k=\alpha _{kk}. \quad \quad(68)$ Однако для недиагональной матрицы $\alpha$ в правой части (67) содержатся и перекрестные слагаемые. В то же время, как упоминалось выше, вид матрицы $\alpha$ зависит от выбора базиса. Возникает следующий вопрос. Пусть задана произвольная квадратичная форма. Можно ли заменой базиса привести ее к диагональному виду (68)?

Определение. Пусть для данной квадратичной формы $A(x,x)$ существует такой базис $\{f_1, \, f_2, ..., f_n\}$ со следующими свойствами: если представить вектор $x \in \mathfrak{L}$ в этом базисе, $x=\sum _{k=1}^n\eta _kf_k,$ то для некоторого фиксированного (не зависящего от $x$ ) набора чисел $\lambda _1, \, \lambda _2, ..., \lambda _n$ $A(x,x)=\sum _{k=1}^n \lambda _k\eta _k^2. \quad \quad(69)$ Тогда базис $\{f_1, \, f_2, ..., f_n\}$ называется каноническим базисом формы $A(x,x)$ , а представление (69) - каноническим видом квадратичной формы $A(x,x)$ .

Теорема. Любую квадратичную форму можно привести к каноническому виду после перехода к соответствующему базису.

Доказательство:

Заметим, что переход к новому базису эквивалентен линейной замене координат вида

$x_k=\sum _{p=1}^nc_{kp}y_p$ для подходящих чисел

$c_{kp}$ (это следует из формул замены координат вектора при замене базиса). Таким образом, мы будем использовать линейные замены координат вместо замен базиса.

Доказательство проведем по индукции, по размерности пространства $n$ . Очевидно, при $n=1$ теорема верна - квадратичная форма совпадает с функцией $A(x,x)=\mu x^2$ . Предоположим, что теорема верна для $n=N$ и докажем ее для $n=N+1$ . Выпишем нашу квадратичную форму, выделив слагаемые, содержащие $x_1$ : $A(x,x)=\alpha _{11}x_1^2+2\alpha _{12}x_1x_2+....2\alpha _{1n}x_1x_n+g(x_2,x_3,...,x_n), \quad \quad(70)$

где $g(x_2,x_3,...,x_n)$ состоит из слагаемых, содержащих переменные $x_2,\,x_3, ,x_n$ . Если все коэффициенты $\alpha _{11},\,\alpha _{12},...,\alpha _{1n}$ равны 0, наша квадратичная форма зависит только от $n-1=N$ переменных $x_2,\,x_3,...,x_n$ , так что для нее теорема верна по предположению индукции. Рассмотрим теперь вариант, когда не все эти коэффициенты равны 0.

1. $\alpha _{11}\neq 0$ , $A(x,x)=\alpha _{11}\left(x_1^2+\frac{2\alpha _{12}}{\alpha _{11}}x_1x_2+....\frac{2\alpha _{1n}}{\alpha _{11}}x_1x_n\right)+g(x_2,x_3,...,x_n).$

Выделим полный квадрат такой заменой переменных: $y_1=x_1+\frac{\alpha _{12}}{\alpha _{11}}x_2+....\frac{\alpha _{1n}}{\alpha _{11}}x_n, \quad y_2=x_2, \, ..., y_n=x_n.$

Тогда в новых переменных $A(x,x)=\alpha _{11}y_1^2+h(y_2,\, y_3,...., y_n),$

где $h(y_2,\, y_3,...., y_n)$ - квадратичная форма от $N$ переменных. Эту квадратичную форму можно привести линейной заменой переменных $y_2,\, y_3,...., y_n$ (не трогая $y_1$ ) к диагональному виду по предположению индукции. Таким образом, и в этом случае доказательство заканчивается.

2. Пусть теперь $\alpha _{11}= 0$ , но какой-то из коэффициентов $\alpha _{12},\,\alpha _{13},...,\alpha _{1n}$ не равен 0, пусть, для определенности, $\alpha _{12}\neq 0$ . Положим $x_1=y_1+y_2, \,x_2=y_1-y_2,\, x_3=y_3, \,..., x_n=y_n.$

Тогда соотношение (70) приобретает вид: $A(x,x)=2\alpha _{12}(y_1^2-y_2^2)+...$

Ненулевое слагаемое, содержащее $y_1^2$ , только одно, выписанное явно. Таким образом, мы приходим к ситуации п.1 и заканчиваем доказательство. ч.т.д.

Предыдущий раздел