Основные определения линейных операторов

Линейные операторы

Основные определения

Определение.

$\!i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi+V\psi$ Пусть

$\mathit{L}$ - векторное пространство. Функция

$A: \mathit{L} \rightarrow \mathit{L}$ называется оператором, действующим в векторном пространстве

$\mathit{L}$ .

Определение. Оператор $A$ называется линейным, если для любых $u_1,u_2 \in \mathit{L}$ и любых чисел $c_1,c_2$ выполняется: $A(c_1u_1+c_2u_2)=c_1A(u_1)+c_2A(u_2)$ .

Обозначение. Результат действия линейного оператора $A$ на вектор $u$ обозначают $Au$ , опуская скобки.

Примеры.

1. $Au=0$ - оператор, который любому вектору ставит в соответствие нулевой вектор.

2. $Au=u$ - тождественный оператор.

3. $Au=\lambda \cdot u$ - оператор, который каждый вектор растягивает в $\lambda$ раз.

4. Пусть в векторном пространстве фиксирован базис $e_1,e_2,...,e_n$ , так что любой вектор $u$ представим в виде линейной комбинации

$u=\sum _{k=1}^n\zeta _ke_k.$

Возьмем $B$ , произвольную квадратную матрицу порядка $n$ . С ее помощью можно построить линейный оператор следующим образом. Положим

$\xi _m=\sum _{k=1}^nB_{mk}\zeta _k,$ и положим

$v=\sum _{m=1}^n\xi _me_m$ . Таким образом, мы вектору

$u$ поставили в соответствие вектор

$v$ , т.е. задали оператор, действующий на векторном пространстве. Можно проверить, что этот оператор является линейным. Отметим при этом, что если выбирать разные базисы, то при заданной матрице

$B$ мы получим разные линейные операторы.

Для линейных операторов можно ввести естественные операции.

1. Пусть даны два линейных оператора $A$ и $B$ . Построим новый линейный оператор согласно соотношению: $u \rightarrow Au+Bu$ . Нетрудно проверить, что это новое отображение само является линейным оператором. Его обозначают $A+B$ .

2. Пусть $A$ - линейный оператор, $\lambda$ - некоторое число. Построим новый линейный оператор согласно соотношению: $u \rightarrow \lambda \cdot Au$ . Нетрудно проверить, что это новое отображение само является линейным оператором. Его обозначают $\lambda A$ .

Итак, на множестве всех линейных операторов, действующих в векторном пространстве $\mathit{L}$ , мы ввели две операции - сложение линейных операторов и умножение линейного оператора на число. Нулевой линейный оператор - оператор, ставящий в соответствие любому вектору нулевой вектор. Можно проверить, что при этом множество всех линейных операторов само становится векторным пространством.

Предыдущий раздел

Следующий раздел