Loading web-font TeX/Math/Italic

Задачи:

Вычислить определители

1.

$$A=\left| \begin{array}{cc} 1 &4 \\ 7 & 5 \end{array} \right|$$

2.

$$A=\left| \begin{array}{cc} a+b & a-b \\ a-b & a+b \end{array} \right|$$

3.

$$A=\left| \begin{array}{ccc} 1 &1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 6 \end{array} \right|$$

4.

$$A=\left| \begin{array}{ccc} 246 &427 & 327 \\ 1014 & 543 & 443 \\ -342 & 721 & 621 \end{array} \right|$$

5.

$$A=\left| \begin{array}{ccc} x &y & x+y \\ y & x+y & x \\ x+y & x & y \end{array} \right|$$

6.

$$A=\left| \begin{array}{cccc} 1 &2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 &1 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 4 &1 &2 &3 \end{array} \right|$$

7.

$$A=\left| \begin{array}{cccc} 1 &2 & 3 & 4 \\ -2 & 1 & -4 & 3 \\ 3 & -4 & -1 & 2 \\ 4 & 3 & -2 & -1 \end{array} \right|$$

8.

$$A=\left| \begin{array}{cccc} 1 &1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 &4 \\ 1 & 3 & 6 &10 \\ 1 &4 &10 &20 \end{array} \right|$$

9.

$$A=\left| \begin{array}{ccccc} 4 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 3 & 0 &0 \\ 0 &1 & 4 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 4 & 3 \\ 0 & 0 & 0 &1 & 4 \end{array} \right|$$

Задачи:

1. Умножить матрицы:

а)

$$\left( \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{array} \right).$$

б)

$$\left( \begin{array}{ccc} 3 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{ccc} 1 &1 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & 1 \end{array} \right).$$

2. Вычислить

$$\left( \begin{array}{cc} 3 & 2 \\ -4 & -2 \end{array} \right)^5.$$

3. Вычислить $AB-BA$, если

а)

$$A=\left( \begin{array}{ccc} 1 &2 & 3 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \end{array} \right), B=\left( \begin{array}{ccc} 4 & 2 & 3 \\ - 1 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \end{array} \right).$$

б)

$$A=\left( \begin{array}{ccc} 2 &1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array} \right), B=\left( \begin{array}{ccc} 3 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 3 \\3 & 5 & 1 \end{array} \right).$$

4. Вычислить

а) $f(A)$, если $f(x)=x^2-3x+3$,

$$A=\left( \begin{array}{ccc} -1 & 3 & 2 \\ 1 & -1 & 3 \\ -1 & 2 & 1 \end{array} \right).$$

б) $f(A)$, если $f(x)=x^2+4x-2$,

$$A=\left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & 0 \end{array} \right).$$

5. Показать, что каждая матрица второго порядка

$$A=\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)$$

удовлетворяет уравнению

$$x^2-(a+d)x+(ad-bc)=0.$$

Задачи:

Найти обратную матрицу для матрицы

1.

$$A=\left( \begin{array}{ccc} 2 &2 & 3 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \end{array} \right).$$

2.

$$A=\left( \begin{array}{ccc} 2 &-1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \end{array} \right).$$

3.

$$A=\left( \begin{array}{ccc} 1 &1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 4 \end{array} \right).$$

Задачи:

1. Найти решение матричного уравнения (12), если

$$A=\left( \begin{array}{cc} 2 & 6 \\ -9 & 3 \end{array} \right) , G=\left( \begin{array}{cc} -26 & -50 \\ 27 & -15 \end{array} \right) .$$

2. Найти решение матричного уравнения (12), если

$$A=\left( \begin{array}{cc} 8 & -7 \\ -5 & 4 \end{array} \right) , G=\left( \begin{array}{cc} 25 & -34 \\ -16 & 22 \end{array} \right) .$$

3. Найти решение матричного уравнения (13), если

$$B=\left( \begin{array}{cc} -8 & -5 \\ -9 & 5 \end{array} \right) , G=\left( \begin{array}{cc} -20 & 30 \\ -19 & 20 \end{array} \right) .$$

4. Найти решение матричного уравнения (13), если

$$B=\left( \begin{array}{cc} 9 & 8 \\ -3 & 7 \end{array} \right) , G=\left( \begin{array}{cc} -72 & 23 \\ 0 & 58 \end{array} \right) .$$

5. Найти решение матричного уравнения (14), если

$$A=\left( \begin{array}{cc} 4 & 2 \\ 3 & -4 \end{array} \right) , B=\left( \begin{array}{cc} -1 & 2 \\ -2 & -1 \end{array} \right) , G=\left( \begin{array}{cc} 20 & -50 \\ 26 & 23 \end{array} \right) .$$

6. Найти решение матричного уравнения (14), если

$$A=\left( \begin{array}{cc} -4 & -2 \\ -3 & 3 \end{array} \right) , B=\left( \begin{array}{cc} 3 & 4 \\ 4 & 3 \end{array} \right) , G=\left( \begin{array}{cc} 132 & 134 \\ 18 & 24 \end{array} \right) .$$

1. Вычислить ранг матрицы

а)

$$\left( \begin{array}{cccc} 1 &2 &1 & 1 \\ 2& 4 & 2 & 2\\ 3 & 6& 3& 5 \end{array} \right) .$$

б)

$$\left( \begin{array}{cccc} 1 &7 &7 & 9 \\ 7& 5 & 1 & -1\\ 4 & 2& -1& -3 \\ -1 & 1 & 3 &5 \end{array} \right) .$$

в)

$$\left( \begin{array}{cccc} 2 & 1 &11 & 2 \\ 1& 0 & 4 & -1\\ 11 & 4& 56& 5 \\ 2 & -1 & 5 &- 6 \end{array} \right) .$$

г)

$$\left( \begin{array}{cccc} 5 & 4 & 1 & 3 \\ 2& 1 & 1 & 4\\ 3 & 2& 1& 1 \\ 1 & 3 & -2 & 2 \end{array} \right) .$$

2. Доказать равенство $rang(A)=rang(A^T)$.

3. Пусть $A$ и $B$ - матрицы с одинаковым числом строк. Доказать, что

$$rang\left( \begin{array}{cc} A & B\\ 2A & 3B \end{array} \right)=rang(A)+rang(B).$$

MathJax Math Υ 