Задачи:

1. Выясните, являются ли линейно независимыми следующие вектора: \[ a_1=(2,-3,1), \quad a_2=(3,-1,5),\quad a_3=(1,3,2). \]

2. Выясните, являются ли линейно независимыми следующие вектора: \[ a_1=(1,0,0,2,5), \quad a_2=(0,1,0,3,4),\quad a_3=(0,0,1,4,7), \quad a_4=(2,-3,4,11,12). \]

3. Пусть даны линейно независимые вектора \(v_1,v_2,...,v_n\). Являются ли линейно независимыми вектора \(v_1-v_2,v_2-v_3,...,v_{n-1}-v_n,v_n\)?

4. Найти все значения параметра \(\lambda\), при котором вектор \(b\) является линейной комбинацией векторов \(a_1,a_2,a_3\). \[ a_1=(3,2,5), a_2=(2,4,7), a_3=(5,6,7), b=(1,3,5). \]

5. Пусть \(dim \mathit{L}=n< m\). Доказать, что любой набор \(m\) векторов является линейно зависимым.

6. Даны вектора \(a_1=(3,-2), \quad a_2=(-2,1), \quad c=(7,-4)\). Разложить вектор \(c\) по базису векторов \(a_1,a_2\).

7. Даны вектора \(a_1=(3,-2,1), \quad a_2=(-1,1,-2), \quad a_3=(2,1,-3), \quad c=(11,-6,5)\). Разложить вектор \(c\) по базису векторов \(a_1,a_2,a_3\).

Задачи:

1. Докажите, что размерность векторного пространства не зависит от выбора базиса (т.е. что любой базис содержит одинаковое число векторов).

2. Доказать, что каждая из двух заданных систем векторов является базисом. Найти матрицу перехода от одной системы к другой. \[ a_1=(1,2,1), \quad a_2=(2,3,3), \quad a_3=(3,8,2), \] \[ b_1=(3,5,8), \quad b_2=(5,14,13), \quad b_3=(1,9,2). \]

3. Как изменится матрица перехода от одного базиса к другому, если поменять местами два вектора второго базиса?

Задачи:

1. Даны вектора \(a_1=(-2,1,7), \quad a_2=(3,-3,8), \quad a_3=(5,4,-1), \quad c=(18,25,1)\). Доказать, что вектора \(a_1,a_2,a_3\) составляют базис и разложить вектор \(c\) по базису векторов \(a_1,a_2,a_3\).

2. Даны вектора \(a_1=(1,2,-1,-2), \quad a_2=(2,3,0,-1), \quad a_3=(1,2,1,4), \quad a_4=(1,3,-1,0), \quad c=(7,14,-1,2)\). Доказать, что вектора \(a_1,a_2,a_3,a_4\) составляют базис и разложить вектор \(c\) по базису векторов \(a_1,a_2,a_3,a_4\).

Задачи:

1. Докажите, что объединение двух подпространств \( L_1,L_2\) является подпространством тогда и только тогда, когда либо \(L_1 \in L_2\), либо \(L_2 \in L_1\).

2. Докажите, что пересечение двух подпространств является подпространством.

3. Найти базис и размерность линейной оболочки следующего набора векторов: \[ a_1=(1,0,0,-1), a_2=(2,1,1,0), a_3=(1,1,1,1), a_4=(1,2,3,4), a_5=(0,1,2,3). \]

Предыдущий раздел

Следующий раздел