Линейные операторы

Преобразование матричной формы линейного оператора при замене базиса

Задачи:

1. Даны два линейных преобразования \[ \left\{ \begin{array} {c} y_1=a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3, \\ y_2=a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3, \\ y_3=a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3, \end{array} \right. \quad \left\{ \begin{array} {c}z_1=b_{11}y_1+b_{12}y_2+b_{13}y_3, \\ z_2=b_{21}y_1+b_{22}y_2+b_{23}y_3, \\ z_3=b_{31}y_1+b_{32}y_2+b_{33}y_3. \end{array} \right. \]

Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее \(z_1,z_2,z_3\) через \(x_1,x_2,x_3\).

а) \[ \left\{ \begin{array} {c} y_1=x_1+2x_2+2x_3, \\ y_2=-3x_2+x_3, \\ y_3=2x_1+3x_3, \end{array} \right. \quad \left\{ \begin{array} {c}z_1=3y_1+y_2, \\ z_2=y_1-2y_2-y_3, \\ z_3=3y_1+2y_3. \end{array} \right. \]

б) \[ \left\{ \begin{array} {c} y_1=2x_2, \\ y_2=-2x_1+3x_2+2x_3, \\ y_3=4x_1-x_2+5x_3, \end{array} \right. \quad \left\{ \begin{array} {c}z_1=-3y_1+y_3, \\ z_2=2y_2+y_3, \\ z_3=-y_2+3y_3. \end{array} \right. \]

в) \[ \left\{ \begin{array} {c} y_1=4x_1+3x_2+2x_3, \\ y_2=-2x_1+x_2-x_3, \\ y_3=3x_1+x_2+x_3,, \end{array} \right. \quad \left\{ \begin{array} {c}z_1=y_1-2y_2-y_3, \\ z_2=3y_1+y_2+2y_3, \\ z_3=y_1+2y_2+2y_3. \end{array} \right. \]

Собственные вектора и собственные значения линейного оператора

Задачи:

Найти собственные числа и собственные вектора линейного оператора, заданного в некотором базисе матрицей \(A\).

1. \[ A=\left ( \begin{array}{ccc}0 & 1 & 0 \\-3 & 4 & 0 \\-2 & 1 & 4 \end{array} \right ). \]

2. \[ A=\left ( \begin{array}{ccc}-3 & 2 & 0 \\-2 & 1 & 0 \\15 & -7 & 4 \end{array} \right ). \]

3. \[ A=\left ( \begin{array}{ccc}4 & 0 & 5 \\ 7 & -2 & 9 \\3 & 0 & 6 \end{array} \right ). \]

4. \[ A=\left ( \begin{array}{ccc}-1 & -2 & 12 \\0 & 4 & 3 \\0 & 5 & 6 \end{array} \right ). \]

Предыдущий раздел Следующий раздел