10. Несобственные интегралы

10.1.1 Определение и основные свойства

Рассмотрим сначала ситуацию, когда нижний предел интегрирования конечен, а верхний равен $+\infty$, другие варианты обсудим несколько позднее. Для $f(x)$, непрерывной при всех интересующих нас $x$, рассмотрим интеграл

$$\begin{equation} I=\int _a^{+\infty}f(x)dx. \quad(19) \label{inf1} \end{equation}$$

Прежде всего надо установить смысл этого выражения. Для этого введем функцию

$$I(N)=\int _a^{N}f(x)dx$$

и рассмотрим ее поведение при $N\rightarrow +\infty$.

Определение. Пусть существует конечный предел

$$A=\lim_{N \rightarrow +\infty}I(N)=\lim_{N \rightarrow +\infty}\int _a^{N}f(x)dx.$$

Тогда говорят, что несобственный интеграл 1 рода (19) является сходящимся и ему приписывают значение $A$, саму функцию называют интегрируемой на интервале $\left[ a, \, +\infty \right )$. Если же указанного предела не существует или он равен $\pm \infty$, то говорят, что интеграл (19) расходится.

Пример.

Рассмотрим интеграл

$$I=\int _0^{+\infty} \frac{dx}{1+x^2}.$$

Положим

$$I(N)=\int _0^{N} \frac{dx}{1+x^2}.$$

В данном случае известна первообразная подинтегральной функции, так что

$$I(N)=\int _0^{N} \frac{dx}{1+x^2}=arctgx|_0^{N}=arctgN.$$

Известно, что $arctg N \rightarrow \pi /2$ при $N \rightarrow +\infty$. Таким образом, $I(N)$ имеет конечный предел, наш несобственный интеграл сходится и равен $\pi /2$.

Сходящиеся несобственные интегралы 1 рода обладают всеми стандартными свойствами обычных определенных интегралов.

1. Если $f(x)$, $g(x)$ интегрируемы на интервале $\left[ a, \, +\infty \right )$, то их сумма $f(x)+g(x)$ также интегрируема на этом интервале, причем $$\int _a^{+\infty}\left(f(x)+g(x)\right )dx=\int _a^{+\infty}f(x)dx+\int _a^{+\infty}g(x)dx.$$ 2. Если $f(x)$ интегрируема на интервале $\left[ a, \, +\infty \right )$, то для любой константы $C$ функция $C\cdot f(x)$ также интегрируема на этом интервале, причем $$\int _a^{+\infty}C\cdot f(x)dx=C \cdot \int _a^{+\infty}f(x)dx.$$ 3. Если $f(x)$ интегрируема на интервале $\left[ a, \, +\infty \right )$, причем на этом интервале $f(x)>0$, то $$\int _a^{+\infty} f(x)dx\,>\,0.$$ 4. Если $f(x)$ интегрируема на интервале $\left[ a, \, +\infty \right )$, то для любого $b>a$ интеграл $$\int _b^{+\infty} f(x)dx$$ сходится, причем $$\int _a^{+\infty}f(x)dx=\int _a^{b} f(x)dx+\int _b^{+\infty} f(x)dx$$ (аддитивность интеграла по интервалу).

Справедливы также формулы замены переменной, интегрирования по частям и т.д. (с естественными оговорками).

Пример.

Рассмотрим интеграл

$$\begin{equation} I=\int _1^{+\infty}\frac{1}{x^k}\,dx. \quad (20) \label{mod} \end{equation}$$

Введем функцию

$$I(N)=\int _1^{N}\frac{1}{x^k}\,dx.$$

В данном случае первообразная известна, так что

$$I(N)=\int _1^{N}\frac{1}{x^k}\,dx\,=\frac{x^{1-k}}{1-k}|_1^N= \frac{N^{1-k}}{1-k}-\frac{1}{1-k}$$

при $k \neq 1$,

$$I(N)=\int _1^{N}\frac{1}{x}\,dx\,=lnx|_1^N= lnN$$

при $k = 1$. Рассматривая поведение при $N \rightarrow +\infty$, приходим к выводу, что интеграл (20) сходится при $k>1$, а при $k \leq 1$ - расходится.

Рассмотрим теперь вариант, когда нижний предел интегрирования равен $-\infty$, а верхний конечен, т.е. рассмотрим интегралы

$$I=\int _{-\infty}^af(x)dx.$$

Однако этот вариант можно свести к предыдущему, если сделать замену переменных $x=-s$ и поменять затем пределы интегрирования местами, так что

$$I=\int _{-a}^{+\infty}g(s)ds,$$

$g(s)=f(-s)$. Рассмотрим теперь случай, когда имеется два бесконечных предела, т.е. интеграл

$$\begin{equation} I=\int _{-\infty}^{+\infty}f(x)dx, \quad (21) \label{intr} \end{equation}$$

причем $f(x)$ непрерывна при всех $x \in \mathbb{R}$. Разобъем интервал на две части: возьмем $c \in \mathbb{R}$, и рассмотрим два интеграла,

$$I_1=\int _{-\infty}^{c}f(x)dx, \quad I_2=\int _{c}^{+\infty}f(x)dx.$$

Определение. Если оба интеграла $I_1$, $I_2$ сходятся, то интеграл (21) называется сходящимся, ему приписывают значение $I=I_1+I_2$ ( в соответствии с аддитивностью по интервалу). Если хотя бы один из интегралов $I_1$, $I_2$ расходится, интеграл (21) называется расходящимся.

Можно доказать, что сходимость интеграла (21) не зависит от выбора точки $c$.

Несобственные интегралы 1 рода с интервалами интегирования $\left(-\infty, \, c \right]$ или $(-\infty, \, +\infty )$ также обладают всеми стандартными свойствами определенных интегралов (с соответствующей переформулировкой, учитывающей выбор интервал интегрирования).

10.1.2 Признаки сходимости несобственных интегралов 1 рода

Теорема(первый признак сравнения). Пусть $f(x)$, $g(x)$ - непрерывны при $x>a$, причем $0a$. Тогда

1. Если интеграл $$\int _a^{+\infty}g(x)dx$$ сходится, то сходится и интеграл $$\int _a^{+\infty}f(x)dx.$$ 2. Если интеграл $$\int _a^{+\infty}f(x)dx$$ расходится, то расходится и интеграл $$\int _a^{+\infty}g(x)dx.$$

Теорема(второй признак сравнения). Пусть $f(x)$, $g(x)$ - непрерывны и положительны при $x>a$, причем существует конечный предел

$$\theta = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{f(x)}{g(x)}, \quad \theta \neq 0, \, +\infty.$$

Тогда интегралы

$$\int _a^{+\infty}f(x)dx, \quad \int _a^{+\infty}g(x)dx$$

сходятся или расходятся одновременно.

Пример.

Рассмотрим интеграл

$$I=\int _1^{+\infty}\frac{1}{x+\sin x}\,dx.$$

Подинтегральное выражение - положительная функция на интервале интегрирования. Далее, при $x \rightarrow +\infty$ имеем:

$\sin x$ является "малой" поправкой в знаменателе. Точнее, если взять $f(x)=1/(x+\sin x)$, \, $g(x)=1/x$, то

$$\lim _{x \rightarrow +\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim _{x \rightarrow +\infty}\frac{x}{x+\sin x}=1.$$

Применяя второй признак сравнения, приходим к выводу, что наш интеграл сходится или расходится одновременно с интегралом

$$\int _1^{+\infty}\frac{1}{x}\,dx .$$

Как было показано в предыдущем примере, этот интеграл расходится ($k=1$). Следовательно, исходный интеграл расходится.

Задачи.

Вычислить несобственный интеграл или установить его сходимость (расходимость).

1. $$\int _{0}^{+\infty}e^{-ax}\,dx.$$ 2. $$\int _{0}^{+\infty}xe^{-x^2}\,dx.$$ 3. $$\int _{-\infty}^{+\infty}\frac{2xdx}{x^2+1}.$$ 4. $$\int _{0}^{+\infty}\frac{xdx}{(x+2)^3}.$$ 5. $$\int _{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{x^2+2x+2}.$$ 6. $$\int _{1}^{+\infty}\frac{lnx}{x^2}\,dx.$$ 7. $$\int _{1}^{+\infty}\frac{dx}{(1+x)\sqrt{x}}.$$ 8. $$\int _{0}^{+\infty}e^{-\sqrt{x}}\,dx.$$ 9. $$\int _{0}^{+\infty}e^{-ax}\cos x\,dx.$$ 10. $$\int _{0}^{+\infty}\frac{xdx}{x^3+1}.$$