4. Производная, дифференциальное исчисление

4.3 Свойства дифференцируемых функций

Теорема. Если функция $f(x)$ дифференцируема в точке $x_0$, то эта функция непрерывна в точке $x_0$.

Доказательство.

Замечание. Обратное утверждение не верно: непрерывная функция не обязана быть дифференцируемой. Т.о., дифференцируемость "более сильное" свойство, чем непрерывность.

Определение. Пусть функция $y=f(x)$ задана на интервале $(a,b)$, $x_0 \in (a,b)$. Говорят, что функция $y=f(x)$ имеет в точке $x_0$ локальный максимум, если для некоторой окрестности этой точки $U$ справедливо: $f(x) \leq f(x_0)$ при всех $x \in U$. Аналогичным образом определяется локальный минимум.

Теорема Ферма. Пусть функция $y=f(x)$ задана на интервале $(a,b)$, $x_0 \in (a,b)$, причем $f(x)$ дифференцируема в точке $x_0$. Если $f(x)$ имеет в точке $x_0$ локальный максимум (или локальный минимум), то $f'(x_0)=0$.

Доказательство.

Теорема Ферма является необходимым условием наличия в точке $x_0$ локального максимума или локального минимума функции $f(x)$ - этим условием является равенство $f'(x_0)=0$. Для вывода достаточного условия нам потребуется несколько более продвинутая техника, оно обсуждается ниже. В связи с этими условиями возникает следующее определение.

Определение.Стационарной точкой (или: экстремальной точкой) функции $f(x)$ называется такая точка $x_0$, которая удовлетворяет условию $f'(x_0)=0$.

Теорема Ролля. Пусть функция $f(x)$ удовлетворяет следующим условиям.
1. Она непрерывна на интервале $\left [ a,b\right ]$.
2. Она дифференцируема на интервале $(a,b)$.
3. $f(a)=f(b)$.
Тогда на интервале $\left [ a,b\right ]$ найдется точка $c$ такая, что $f'(c)=0$.

Доказательство.

Рассмотрим геометрическую интерпретацию теоремы Ролля.

Рис 4: К геометрическому смыслу теоремы Ролля

На рисунке 4 изображена функция, принимающая равные значения на концах. В соответствии с заключением теоремы, существует точка $c$, в которой касательная к графику функции параллельна оси $x$ (т.е. $f'(c)=0$).

Теорема Лагранжа. Пусть функция $f(x)$ удовлетворяет следующим условиям.
1. Она непрерывна на интервале $\left [ a,b\right ]$.
2. Она дифференцируема на интервале $(a,b)$.

Тогда на интервале $\left [ a,b\right ]$ найдется точка $c$ такая, что \begin{equation} f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}. (11) \label{Lagr} \end{equation}

Доказательство.

Формула (11) называется формулой конечных приращений. Ее можно переписать в виде: \[ f(b)-f(a)=f'(c)\cdot (b-a), \] где, напомним, $c \in (a,b)$.

Рис 5:К геометрическому смыслу теоремы Лагранжа

В таком виде она часто используется в том случае, когда требуется вычислить (или оценить) величину $f(b)-f(a)$.

Рассмотрим геометрическую интерпретацию теоремы Лагранжа, см. рис. 5. Значение $f'(c)$ фиксирует угол наклона касательной к графику в точке $c$, выражение $(f(b)-f(a))/(b-a) $ задает угол наклона хорды, соединяющей концы кривой. Таким образом, теорема Лагранжа утверждает, что между $a$ и $b$ найдется такая точка $c$, что каcательная к графику в этой точке параллельна хорде, соединяющей концы кривой.

Теорема Коши. Пусть функции $f(x),g(x)$ удовлетворяют следующим условиям.
1. Они непрерывны на интервале $\left [ a,b\right ]$.
2. Они дифференцируемы на интервале $(a,b)$, причем $g(a) \neq g(b)$.
Тогда на интервале $\left [ a,b\right ]$ найдется точка $c$ такая, что \[ \frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}. \]

Доказательство.

Теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши в том случае, когда $g(x)=x$.