1. Введение
2. Основные структуры
- 2.1 Элементы теории множеств
- 2.2 Операции с множествами
- 2.3 Функции и способы их задания
- 2.4 Числовые последовательности
3. Пределы. Непрерывные функции
- 3.1 Предел последовательности
- 3.1.1 Определения
- 3.1.2 Арифметика пределов
- 3.1.3 Арифметика бесконечно малых
- 3.1.4 Признаки существования пределов
- 3.1.5 Вычисление пределов
- 3.1.6 Замечательный предел
- 3.2 Функции непрерывной переменной
- 3.2.1 Определения
- 3.2.2 Арифметика пределов
- 3.2.3 Арифметика бесконечно малых
- 3.2.4 Признаки существования пределов
- 3.2.5 Замечательные пределы
- 3.2.6 Список важнейших предельных соотношений
- 3.3 Непрерывные функции
- 3.3.1 Определения
- 3.3.2 Основные свойства
- 3.3.3 Разрывы функции
4. Производная, дифференциальное исчисление
- 4.1 Производная
- 4.1.1 Определение производной
- 4.1.2 Производная от элементарных функций
- 4.1.3 Производная от суммы, произведения и частного функций
- 4.1.4 Производные от сложной функции, от обратной функции, от функции, заданной параметрически
- 4.1.5 Таблица производных
- 4.2 Первый дифференциал
- 4.2.1 Определение и основные свойства первого дифференциала
- 4.2.2 Геометрический смысл первого дифференциала
- 4.2.3 Дифференциал сложной функции. Инвариантность первого дифференциала
- 4.3 Свойства дифференцируемых функций
- 4.4 Правило Лопиталя и раскрытие неопреленностей
5. Высшие производные
- 5.1 Определение и свойства высших производных
- 5.2 Определение и свойства дифференциалов высших порядков
- 5.3 Теорема Тейлора
- 5.4 Формула Тейлора для некоторых функций
6. Приложения дифференциального исчисления
- 6.1 Монотонность функции и знак ее производной
- 6.2 Достаточное условие локального максимума/минимума
- 6.3 Решение задачи о глобальном максимуме/минимуме функции на замкнутом отрезке
- 6.4 Выпуклость вверх, выпуклость вниз, точки перегиба
7. Первообразная (неопределенный интеграл)
- 7.1 Определение и основные свойства первообразных
- 7.2 Таблица основных первообразных
- 7.3 Интегрирование по частям
- 7.4 Замена переменной в первообразной
8. Техника вычисления первообразных
- 8.1 Интегралы от дробно-рациональных функций
- 8.1.1 Полиномы, основные свойства
- 8.1.2 Дробно-рациональные функции, основные свойства
- 8.1.3 Выделение целой части и разложение на простейшие для дробно-рациональных функций
- 8.1.4 Вычисление первообразной от дробно-рациональной функции
- 8.2 Интегралы от тригонометрических функций
- 8.3 Интегралы от функций, содержащих иррациональности
- 8.4 Подстановки Эйлера
- 8.5 "Неберущиеся" интегралы
9. Определенный интеграл
- 9.1 Определение
- 9.2 Геометрический смысл определенного интеграла
- 9.3 Основные свойства
- 9.4 Формула Ньютона-Лейбница
- 9.4.1 Интеграл как функция верхнего предела
- 9.4.2 Формула Барроу
- 9.4.3 Формула Ньютона-Лейбница
- 9.5 Интегрирование по частям в определенном интеграле
- 9.6 Замена переменной в определенном интеграле
10. Несобственные интегралы
- 10.1 Несобственные интегралы 1 рода
- 10.1.1 Определение и основные свойства
- 10.1.2 Признаки сходимости несобственных интегралов 1 рода
- 10.2 Несобственные интегралы 2 рода
- 10.2.1 Определение и основные свойства
- 10.2.2 Признаки сходимости несобственных интегралов 2 рода
11. Интегралы зависящие от параметра
12. Приложения определенных интегралов
8. Техника вычисления первообразных
8.2 Интегралы от тригонометрических функций
Рассмотрим интегралы вида
\begin{equation} I=\int R( \sin x, \cos x)dx, (16) \label{trig} \end{equation}где $R(u,s)$ - дробно-рациональная функция своих аргументов. Существует несколько подходов к их вычислению. В их основе - сведение интеграла (16) с помощью подходящей замены переменной к интегралу от дробно-рациональной функции.
1. Универсальная тригонометрическая подстановка.
Эта подстановка реализуется с помощью соотношений
\[ t=tg(x/2), \quad x=2arctgt, \quad dx=\frac{2dt}{1+t^2}, \] \[ \sin x=\frac{2\sin (x/2)\cos (x/2)}{1}=\frac{2\sin(x/2)\cos(x/2)}{\sin ^2(x/2)+\cos ^2(x/2)}= \] \[ \frac{2tg(x/2)}{1+tg^2(x/2)}=\frac{2t}{1+t^2}, \] \[ \cos x=\frac{\cos ^2(x/2)-\sin ^2(x/2)}{1}=\frac{\cos ^2(x/2)-\sin ^2(x/2)}{\sin ^2(x/2)+\cos ^2(x/2)}= \] \[ \frac{1-tg^2(x/2)}{1+tg^2(x/2)}=\frac{1-t^2}{1+t^2}. \]Подставляя в интеграл (16), получаем:
\[ I=\int R\left(\frac{2t}{1+t^2},\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)\cdot \frac{2dt}{1+t^2}. \]В аргументах функции $R(u,s)$ под интегралом - дробно-рациональные функции переменной $t$. Используя описанные выше свойства дробно-рациональных функций, приходим к выводу, что все подинтегральное выражение представляет собой дробно-рациональную функцию переменной $t$. Таким образом, интеграл можно вычислить в явном виде как функцию переменной $t$, а затем вернуться к переменной $x$, подставляя $ t=tg(x/2)$.
Универсальная тригонометрическая подстановка иногда приводит к слишком громоздким вычислениям. Если функция $R(u,s)$ обладает дополнительными свойствами, можно их сократить, используя другие подстановки.
2. Если интеграл (16) можно свести к виду
\[ I=\int W(\sin x)\cos xdx, \]где $W(t)$ - дробно-рациональная функция переменной $t$, следует применять подстановку $t=\sin x$, так что $\cos xdx=dt$. Заметим, что если $R(u,s)$ нечетна по переменной $s$, то такое сведение возможно.
3. Аналогичным образом, если интеграл (16) можно свести к виду
\[ I=\int W(\cos x)\sin xdx, \]где $W(t)$ - дробно-рациональная функция переменной $t$, следует применять подстановку $t=\cos x$, так что $\sin xdx=- dt$. Это возможно, если функция $R(u,s)$ в интеграле (16) является нечетной по $u$.
4. Если в интеграле (16) функция $R(u,s)$ четна по обеим переменным, можно использовать подстановку $t=tg x$.
5. Если интеграл (16) можно привести к виду
\[ I=\int W(tg x)dx, \]где $W(t)$ - дробно-рациональная функция, то рекомендуется подстановка $t=tg x$.
Задачи.