1. Введение
2. Основные структуры
- 2.1 Элементы теории множеств
- 2.2 Операции с множествами
- 2.3 Функции и способы их задания
- 2.4 Числовые последовательности
3. Пределы. Непрерывные функции
- 3.1 Предел последовательности
- 3.1.1 Определения
- 3.1.2 Арифметика пределов
- 3.1.3 Арифметика бесконечно малых
- 3.1.4 Признаки существования пределов
- 3.1.5 Вычисление пределов
- 3.1.6 Замечательный предел
- 3.2 Функции непрерывной переменной
- 3.2.1 Определения
- 3.2.2 Арифметика пределов
- 3.2.3 Арифметика бесконечно малых
- 3.2.4 Признаки существования пределов
- 3.2.5 Замечательные пределы
- 3.2.6 Список важнейших предельных соотношений
- 3.3 Непрерывные функции
- 3.3.1 Определения
- 3.3.2 Основные свойства
- 3.3.3 Разрывы функции
4. Производная, дифференциальное исчисление
- 4.1 Производная
- 4.1.1 Определение производной
- 4.1.2 Производная от элементарных функций
- 4.1.3 Производная от суммы, произведения и частного функций
- 4.1.4 Производные от сложной функции, от обратной функции, от функции, заданной параметрически
- 4.1.5 Таблица производных
- 4.2 Первый дифференциал
- 4.2.1 Определение и основные свойства первого дифференциала
- 4.2.2 Геометрический смысл первого дифференциала
- 4.2.3 Дифференциал сложной функции. Инвариантность первого дифференциала
- 4.3 Свойства дифференцируемых функций
- 4.4 Правило Лопиталя и раскрытие неопреленностей
5. Высшие производные
- 5.1 Определение и свойства высших производных
- 5.2 Определение и свойства дифференциалов высших порядков
- 5.3 Теорема Тейлора
- 5.4 Формула Тейлора для некоторых функций
6. Приложения дифференциального исчисления
- 6.1 Монотонность функции и знак ее производной
- 6.2 Достаточное условие локального максимума/минимума
- 6.3 Решение задачи о глобальном максимуме/минимуме функции на замкнутом отрезке
- 6.4 Выпуклость вверх, выпуклость вниз, точки перегиба
7. Первообразная (неопределенный интеграл)
- 7.1 Определение и основные свойства первообразных
- 7.2 Таблица основных первообразных
- 7.3 Интегрирование по частям
- 7.4 Замена переменной в первообразной
8. Техника вычисления первообразных
- 8.1 Интегралы от дробно-рациональных функций
- 8.1.1 Полиномы, основные свойства
- 8.1.2 Дробно-рациональные функции, основные свойства
- 8.1.3 Выделение целой части и разложение на простейшие для дробно-рациональных функций
- 8.1.4 Вычисление первообразной от дробно-рациональной функции
- 8.2 Интегралы от тригонометрических функций
- 8.3 Интегралы от функций, содержащих иррациональности
- 8.4 Подстановки Эйлера
- 8.5 "Неберущиеся" интегралы
9. Определенный интеграл
- 9.1 Определение
- 9.2 Геометрический смысл определенного интеграла
- 9.3 Основные свойства
- 9.4 Формула Ньютона-Лейбница
- 9.4.1 Интеграл как функция верхнего предела
- 9.4.2 Формула Барроу
- 9.4.3 Формула Ньютона-Лейбница
- 9.5 Интегрирование по частям в определенном интеграле
- 9.6 Замена переменной в определенном интеграле
10. Несобственные интегралы
- 10.1 Несобственные интегралы 1 рода
- 10.1.1 Определение и основные свойства
- 10.1.2 Признаки сходимости несобственных интегралов 1 рода
- 10.2 Несобственные интегралы 2 рода
- 10.2.1 Определение и основные свойства
- 10.2.2 Признаки сходимости несобственных интегралов 2 рода
11. Интегралы зависящие от параметра
12. Приложения определенных интегралов
7. Первообразная (неопределенный интеграл)
7.1 Определение и основные свойства
Если мы имеем какую-то операцию, то естественно поставить и обсудить вопрос о ее обращении.
Дифференцирование функций можно рассматривать как операцию D, которая из заданной функции “изготавливает” новую функцию, ее производную:
Рассмотрим задачу обращения этой операции: для заданной функции g(x) найти такую функцию G(x), что выполняется равенство:
\begin{equation} \frac{dG(x)}{dx}=g(x). (15) \label{int1} \end{equation}
Определение. Функция $G(x)$ удовлетворяющая соотношению (15), называется первообразной функции $g(x)$ (или: неопределенным интегралом от функции $g(x)$).
Обозначение. Функция $G(x)$ удовлетворяющая соотношению (15), обозначают
\[ G(x)=\int g(x)dx. \]Пример.
Из свойств операции дифференцирования следует, что если $G(x)$ - первообразная функции $g(x)$, то для любой константы $C$ функция $G(x)+C$ также является первообразной функции $g(x)$. Это следует из простого вычисления: $$\frac{d}{dx}(G(x)+C)=\frac{d}{dx}G(x)+\frac{d}{dx}C=g(x)+0.$$ Вопрос: сколько первообразных может быть у функции?
Теорема.Пусть $G(x)$ - первообразная непрерывной функции $g(x)$. Тогда любая первообразная этой функции лишь на константу отличается от $G(x)$.
Доказательство.
Свойства первообразной тесно связаны со свойствами, которыми обладает операция дифференцирования.
1. Первообразная от суммы функций равна сумме первообразных,
\[ \int \left(f(x)+g(x)\right )dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx. \]2. Константу можно вынести за знак интеграла: если $C=const$, то
\[ \int C\cdot f(x)dx=C\cdot \int f(x)dx. \]3. При дифференцирование первообразной получается исходная функция,
\[ \left (\int f(x)dx\right )'=f(x). \]4. Пусть $\int f(x)dx=F(x)$, $a,b=const$. Тогда
\[ \int f(ax+b)dx=\frac{1}{a}F(ax+b). \]Все эти сотношения легко проверяются с помощью дифференцирования.
Пример.